Notes

% Adams-Bashforth Method Example (Second Order)
clear all; clc;

% Fonksiyon tanımlanır (örneğin, y' = f(t, y) için)
f = @(t, y) t + y;

% Başlangıç değerleri
t0 = 0;
y0 = 1;

% İlk adım boyutu
h = 0.1;

% İlk adım için Euler yöntemi kullanılır
t = t0:h:2;
y = zeros(size(t));
y(1) = y0;

% Adams-Bashforth katsayıları
% beta0 = 3/2;
% beta1 = -1/2;

% Adams-Bashforth yöntemi
for i = 1:(length(t)-1)
% f(t_n, y_n)
fn = f(t(i), y(i));

% Adams-Bashforth formülü
% j=1;
% y(i+1) = y(i) + h * (calculate_beta_j(j) * fn);
n = 5;total_sum = 0;
for j = 1:n
% Calculate beta_j
beta_j = calculate_beta_j(j);

% Update the total sum using the formula
total_sum = total_sum + (y(i) + h * (beta_j * fn));
end
y(i+1) = total_sum ;
% Bir önceki adım için fonksiyon değeri güncellenir
fn_minus_1 = fn;
end

% Sonuçları çizdir
plot(t, y, '-o');
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
title('Adams-Bashforth Method Example (Second Order)');
grid on;


function gamma_i = calculate_gamma_i(i)
gamma_i = (-1)^i * integral(@(s) (-s).^i, 0, 1);
end

function beta_j = calculate_beta_j(j)
beta_j = (-1)^(j-1) * sum(arrayfun(@(i) nchoosek(j-1, i) * calculate_gamma_i(i), 0:(j-1)));
end