Notes

ÖZDEŞLİK VE DENKLEM ARASINDAKİ FARK

İçerdiği değişken veya değişkenlerin alabileceği her gerçek sayı değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik, bazı gerçek sayı veya sayılar için doğru olan eşitliklere denklem adı verilir. Özdeşlik İle Denklem Arasındaki Fark, özdeşliğin tüm sayılar için sağlanması, denklemin ise bazı sayılar için sağlanmasıdır.

Örneğin; 2x+x=3x ifadesinde x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım eşitliğin sol tarafından bulduğumuz sonuç ile sağ tarafından bulduğumuz sonuç hep aynı olacaktır. Denemek gerekirse;
x=1 için; 2x+x=3x
2.1+1=3.1
2+1=3
3=3

x=15 için; 2x+x=3x
2.15+15=3.15
30+15=45
45=45

» Yukarıda görüldüğü gibi eşitliğin her iki tarafında da aynı sonuç bulunmaktadır. 2x+x=3x ifadesi bir özdeşliktir. Bu ifadenin özdeşlik olduğunu cebirsel ifadelerde işlem yaparak da anlayabilirdik. 2x+x=3x ifadesinde eşitliğin sol tarafındaki 2x ile x ifadelerini topladığımızda 3x buluruz. Dolayısıyla 3x=3x sonucunu elde ederiz. Buradan da eşitliğin her iki tarafı aynı olduğu için hangi sayıyı denersek deneyelim her iki tarafın hep aynı sonucu vereceğini anlayabiliriz.

ÖRNEK: 3x-7=x+3 ifadesinin özdeşlik mi denklem mi olduğunu belirleyiniz.
ÇÖZÜM: Herhangi bir sayı belirleyerek eşitliğin sağ ve sol taraflarından çıkacak sonuçları bulalım.
x= 6 olsun. Bu durum da; 3x-7=x+3 ifadesinde x gördüğümüz yere 6 yazarak eşitliğin sol ve sağ taraflarını inceleyelim.
3.6-7=6+3
18-7=6+3
11=9
Sonucunu elde ettik. Görüldüğü üzere eşitliğin her iki tarafı aynı sonucu vermedi, eğer bu ifade özdeşlik olsaydı kesinlikle eşitliğin iki tarafından da aynı sonucu bulurduk. Bir sayı için bile bu eşitlik sağlanmazsa bu bir özdeşlik olamaz. Dolayısıyla bu ifade bir denklemdir. 3x-7=x+3 denklemimiz sadece x’in 5 değeri için sağlanır. Başka hiç bir sayı için eşitliğin her iki tarafı aynı çıkmaz.

CEBİRSEL İFADELERDE ÖZDEŞLİK

Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere “özdeşlik”denir

İki terimin toplamının karesi özdeşliği; (a + b)² = a² + 2ab + b² dir.
İki terimin toplamının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci terimin çarpımlarının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

İki terimin farkının karesi özdeşliği, (a – b)² = a² – 2ab + b² dir.
İki terimin farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci
terimin çarpımlarının eksi iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) (x – 4)²

b) (5 – y)²

c) (2x – 4y)²

a. (x – 4)² = x² – 2 . x . 4 + (– 4)² = x² – 8x + 16
b. (5 – y)² = 5² – 2 . 5 . y + y² = 25 – 10y + y²
c. (2x – 3y)² = (2x)² – 2 . (2x) • (3y) + (– 3y)²
= 4x² – 12yx + 9y²

İki kare farkı özdeşliği; a² – b² = (a – b) . (a + b)
İki terimin kareleri farkı, iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Aşağıda verilen işlemleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak yapalım.
a) 105² – 52

b) 85² – 15²

İki kare farkı özdeşliği a² – b² = (a – b) . (a + b)’dir. O halde;
a. 105² – 5² = (105 – 5) . (105 + 5) = 100 . 110 = 11 000
b. 85² – 15² = (85 – 15) . (85 + 15) = 70 . 100 = 7 000’dir.

ORTAK ÇARPAN PARANTEZE ALARAK VEYA GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA

Bir ifadenin çarpanlarının çarpımı biçiminde yazılmasına, bu cebirsel ifadenin çarpanlara ayrılması denir.

Bir cebirsel ifadenin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanların, parantez dışına alınarak çarpım biçiminde yazılmasına ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayırma denir.

Örnek: 4x-12xm+8kx=4x(1-3m+2k)

Bir cebirsel ifade ortak çarpan parantezine alınarak çarpanlarına ayrılamıyorsa bu durumda terimler kendi aralarında ortak çarpan bulunacak biçimde iki veya daha fazla terimden oluşan gruplara ayrılır.Bu şekilde çarpanlarına ayırma işlemine gruplandırarak çarpanlarına ayırma denir.

Örnek:2m+2k-xm-xk = 2(m+k)-x(m+k)=(m+k).(2-x)

EŞLİK VE BENZERLİK

Eşlik
Karşılıklı açıları aynı ve karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan çokgenlere eş çokgenler denir. Eşlik “≅” sembolü ile gösterilir. Eş şekiller birbirinin tıpkısının aynısı olan, üst üste koyduğumuzda birbirini tam kapatan (örten) şekillerdir.


Benzerlik
Karşılıklı açıları aynı ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı olan çokgenlere benzer çokgenler denir. Benzerlik “∼” veya “≈” sembollerinden biri ile gösterilir. Bilgisayardaki bir resme bakmak için açtığımızda, resmi büyütüp küçültebiliriz, aslında resmi büyüttüğümüzde ve küçülttüğümüzde bilgisayarımız benzerlik ilkesine göre hareket eder; yani resimdeki nesnelerin bütün kısımları aynı oranda büyüyüp küçülür.

Benzer çokgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları arasında bir oran vardır. Bu orana benzerlik oranı denir. Eş olan bütün çokgenler benzerdir ve benzerlik oranları da 1’e eşittir.

EĞİM

Bir rampanın dikey uzunluğunun yatay uzunluğuna oranına o rampanın eğimi adı verilir. Eğim, “m” harfi ile gösterilir. Bir eğim değerini kesir olarak, ondalık kesir olarak yada yüzdelik ifadeyle göstermek mümkündür.

Eğim Açısı bir doğrunun x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açıdır

Denklemi y=ax+b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x’in kat sayısına yani a’ya eşittir.

ÖRNEK: y=3x+1 denklemi ile verilen doğrunun eğimini bulunuz.
ÇÖZÜM: y=3x+1 denkleminde x’in kat sayısı olan 3 sayısı aynı zamanda doğrunun eğimidir. Yani m=3’tür.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.

Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a + c = b + c dir.

Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a – c = b – c dir.

Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a × c = b × c dir.