Notes

public static void main(String[] args) {

// sayi1 dizisinde birinci sayının basamaklarını tek tek tutuyorum.
int[] sayi1 = new int[100];
// sayi11 de yazdığım sayıyı sayi1 dizisindeki basamaklara for döngüsü ile tek tek atıyorum.
String sayi11 = "1934567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890";
for (int i = 0; i < 100; i++) {
sayi1[i] = Integer.parseInt(sayi11.charAt(i)+"");

}
// ilk sayıyı ekrana basıyorum.
System.out.println("Sayi1: "+sayi11);

// sayi2 dizisinde ikinci sayının basamaklarını tek tek tutuyorum.
int[] sayi2 = new int[100];
// sayi22 de yazdığım sayıyı sayi2 dizisindeki basamaklara for döngüsü ile tek tek atıyorum.
String sayi22 = "7234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890";
for (int i = 0; i < 100; i++) {
sayi2[i] = Integer.parseInt(sayi22.charAt(i)+"");

}
// ikinci sayıyı ekrana basıyorum.
System.out.println("Sayi2: "+sayi22);


// toplam dizisini tanımlıyorum. ve tüm basamakların ilk değerini sıfır atıyorum.
int[] toplam = new int[100];
for (int i = 0; i < toplam.length; i++) {
toplam[i]=0;
}

// birler basamağından başlayarak toplama işlemi yapıyorum.
for (int i = 99; i > 0; i--) {
// basamakların toplamı
int araToplam = sayi1[i] + sayi2[i];

// eğer toplam 9dan büyükse sonraki basamağa devretmesini sağlıyorum.
if (araToplam > 9) {
toplam[i]+= araToplam%10;
toplam[i-1]+=1;
}else{
toplam[i]+= araToplam;
}
}
// toplamın birinci basamağını ayrı kontrol ediyorum çünkü son basamakta taşma olabilir.
toplam[0]+= sayi1[0] + sayi2[0];
System.out.print("Toplam: ");
for (int i = 0; i < 100; i++) {
System.out.print(toplam[i]);
}
}