Notes

Matematiksel paradoks, görünürde mantıklı olan fakat kendi kendisiyle çelişen matematiksel ifadelerdir. Paradoks (en azından matematiksel paradoks) sadece gerekli olan temel mantığın eksikliğinden veya uygulanabilir görünen mantığın uygulanmaması gereken yerlerde kullanılmasından kaynaklanan yanlış bir ifadedir.

Çelişkinin Kanıtlandığı Ünlü Paradokslar

*Sonsuz asal sayı olduğunun kanıtı;

Diyelim ki çarpım halinde sonlu sayıda asal sayımız var;

2 x 3 x 5 x ... x Pn

Şimdi bu çarpıma 1 ekleyip bu ifadeyi M değişkenine eşitleyelim;

M = (2 x 3 x 5 x ... x Pn) + 1

Şimdi ise aritmetiğin temel teoremi olarak, hem M değişkenini hem de asal sayıların bulunduğu ifadeyi bölen bir asal sayı (1 < y < n + 1 için Py diyelim) olmalı ve bunu şu şekilde gösterebiliriz;

Py / M - (2 x 3 x 5 x ... x Pn) = 1

Fakat hiçbir asal sayı 1'i bölemez, böylece bu çelişki sayesinde orijinal ifademiz yanlış çıktı. Bu yüzden sonsuz asal sayı vardır.



Zeno'nun Çatallanma Paradoksu

Elealı Zeno, birçok ünlü paradoksu yaratmasıyla tarihe kazındı ve büyük ihtimalle en popüleri de Kaplumbağa ve Aşil (Antik Yunan'da İlyada'nın büyük Yunan kahramanı) olmalı. Bu paradoksu diyalog halinde inceleyelim;

Kaplumbağa Aşil'in ona başlangıçta küçük bir avans vermesi şartıyla bir yarışa davet etti. Aşil güldü, ne de olsa o çevik bir savaşçıydı, Kaplumbağa ise yavaş ve ağır...

Aşil "Ne kadar avans istersin?" diye gülerek Kaplumbağa'ya sordu.

"10 metre." dedi Kaplumbağa.

Aşil hepsinden daha sesli güldü; "Eğer öyleyse kesinlikle kaybedeceksin dostum." dedi Kaplumbağa'ya. "Ama haydi yarışalım, madem öyle istiyorsun..." diye devam etti.

Kaplumbağa, "Tam aksine, ben kazanacağım ve bunu sana küçük bir örnekle kanıtlayabilirim."

Öncekinden az bir özgüvenle, "Devam et bakalım." diye yanıtladı Aşil. Çok iyi bir atlet olduğunu biliyordu, aynı zamanda Kaplumbağa'nın sağlam fikirleri olduğunu da...

"Diyelim ki..." diyerek başladı Kaplumbağa, "bana 10 metre avans verdin. Sence aradaki 10 metreyi hızlıca kapatabilir misin?"

Aşil yanıtladı, "Hem de çok hızlı!"

Kaplumbağa, "Peki sence bu sırada ne kadar uzaklaşabilirim?"

"Belki bir metre, fazlası değil." dedi Aşil birkaç saniye sonra.

"Çok güzel." yanıtladı Kağlumbağa, "böylece aramızda 1 metre olmuş oldu. Ve bu mesafeyi çok hızlı bir şekilde kapatabilirsin, değil mi?"

"Aynen öyle!"

"Ve bu sürede ben de biraz ilerlemiş olacağım, sen de bu mesafeyi kapatabilirsin, değil mi?"

"E-vet" dedi Aşil yavaşça.

"Ve sen mesafeyi kapatırken, ben biraz daha ilerlemiş olacağım, ardından senin bu mesafeyi de kapatman gerekecek." diyerek sakince devam etti Kaplumbağa.

Aşil bir şey diyemedi. "Görüyorsun, aramızdaki mesafeyi kapatmaya çalıştığın her an, ben yeni bir mesafe ekliyor olacağım, küçük olsa da yeniden kapatman gerek mesafeler..."

"Doğru, öyle olmalı." dedi Aşil.

"Ve sen asla yetişemeyeceksin." diyerek tatlı bir şekilde tartışmayı sonlandırdı Kaplumbağa.

"Her zaman olduğun gibi haklısın." dedi Aşil ve yarıştan çekildi.



Aslında bu paradoksu neredeyse herkes biliyor. Ve bunu matematiksel olarak bu şekilde gösterebiliriz...


1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...



İlk başta pozitif uzaklığa sonsuz sayı eklemenin toplama sonsuz uzaklık eklemesi imkansız gibi görünebilir. Ama öyle değil, bu durumda bize sonlu toplam verir; aslında bütün uzaklıklar 1'e kadar toplanır. Küçük bir yansıma bunun o kadar da garip olmadığını açıklayacak; eğer sonlu bir uzaklığı sonsuz sayıda küçük uzaklığa bölersem, ardından bütün bu küçük uzaklıkları birleştirirsem bana başlangıçtaki sonlu uzaklığı vermeli. (Aynı yukarıdaki gibi sonsuz bir toplam matematikte sonsuz seriler olarak bilinir; ne zaman ki toplam sonlu bir sayıya ulaştığında, serinin toplanabilir olduğunu söyleyebiliriz.)