Notes

Reel formüllerin de doğa olaylarında karşılığının olması ne kadarsa kompleks de o kadardır. Siz komplkse tek sayı değil de iki sayı olarak bakın. Size i 'siz bir CİSİM inşa ederim ki siz ona ne kompleks diyebilirsiniz ne de imajiner. Bildiğimiz gerçek iki rakamlar topluluğu. Toplkaması çıkarması gayet kolay, ama çarpma işlemi tabiki değişik, ancak şu da var: iki li sayılar üzerinde başka da çarpma işlemi tarif edilemez, yani benim tarif edeceğim hem naturel ve hem de tek. Ancak çarpma işlemi değişik.
örnek: (a, b) x (c, d) = (ac - bd, ad + bc
demek ki (2, 3) x ( -1, 4) = (-14, 5).
demekki ben size R² üzerinde yani düzlemde yeni bir çarpma işlemi tanımladım. Bakın işin içinde i mi yok! karekök (-1) falan da yok! ama öyle bir sayı var ki karesi -1. Haydi bulun bakalım o sayıyı...





Değerli hocam kompleks diye bir şey yok ki siz kompleksleştirmeye karşı çıkasınız! Ne var o zaman derseniz, bir defa daha anlatayım o vakit: Geometrik Düzlemde (x - y) - kartezyen koordinatları belirlediğimiz anda her hangi geometrik bir nokta artık bir sayı çifti ile verilir. Misalenn P noktasının koordinatları (a, b), Q noktasının da (c, d) olsun. a, b, c, d reel sayılardır. Bu şiekilde geometrik düzlemden cebirsel iki sayı çiftine geçmiş olduk. (Bu geçiş matematikte çok büyük bir bir devrimdir. Geometriyi cebirselleştirdik, yani geometrik noktalara rakamlar taktık). Bu geçiş bir-e-bir ve örtendir! . Şimdi bu çift sayılar arasında aritmetik işlemler tarif edicem: P noktası le Q noktasının toplamlarının tekabul edeceği kartezyen sayılar (a+c, b+d) olsun. görüleceği gibi Orijin yani (0, 0) bu işlemim nötür elemanıdır çünkü (a, b) + (0, 0) = (a, b). Ayrıca bu nötür elemana göre (a, b) nin toplamaya göre tersi (-a, -b) dir. Şimdi de çarpma işlemini tarif ediyorum, sıkı durun: (a, b) x (c, d) = (ac - bd, ad + bc)... Şöyle dersiniz, "Ama bi dk nörüyon sen, benim baklediğim (a, b) * (c, d) = (ac, bd) idi, siz şimdi su koydun." Hayır su mu koymadım. İsterseniz siz bu * çarpmasıyla CİSİM olmanın olmazsa olmazı şu dağıtım özelliğini sağlayıp sağlamadığını test edin bir: yani (a, b) * { (c, d) + (e, f)} =? (a, b) * (c, d) + (a, b) * (e, f). Göreceksiniz ki bu sağlanmıyor. Daha basit bir şey söyliyeyim size ki akılda daha kalıcı dursun: diyelim * ile çalışacağız. Çarpmaya göre birim elemanı (1, 1) olacaktır, başka bir şey olamaz! Öyle ya (a, b) * (1, 1) = (a, b). Ama bu durumda (1, 0) ın tersi ne olacak? veya (0, 1) in tersi ne olacak? örneğin (0, 1) * (x, y) = (1, 1) in çözümü (0, y ) = (1, 1) dolayısı ile 0 = 1 çıkar ki haliyle gülünç duruma düşersiniz. Demek ki akla ilk gelen * çarpma işlemi uygun değildir. Ben iddia ediyorum ki x çarpma işlemi Kartezyen Düzlemi Cisim yapmaya yeterlidir. Daha dahası, kartezyen düzlemden cizim elde etmenin tek ve yegâne yolu bu x ilmei sayesindedir. Başka bir operasyon yok! Sayın hocam, bakın bunları üşenmeden tek tek söyliyorum, çünkü matematikte "varlık ve teklik" konusu çok mühimdir. şunu demek istiyorum: siz farkına varsanız da varmasanız da, keşfetseniz de etmeseniz de, yukardaki x işlemi kartezyen düzlemin çok karakteristik bir özelliğidir, o bu çarpma işlemini bağrında barındırıyor, onun bir parçası, başka x işlemi yok! Bu çarpma işlemine göre birim eleman (1, 0) olup (a, b) nin çarpım tersi de kolaylıkla hesaplanabilir (ev ödevi!). Örneğin (0, 1) in çarpım tersi (0, -1) dir. Çünkü (0, 1) x (0, -1) = (1, 0) yani birim elemandır. (1, 0) ın tersi elbette kendisidir. Kısacası hocalarım Kartezyen Düzlem yukarda tanımladığım + ve x operasyonları altında bir CİSİM dir. Ve de kartezyen düzlemi cisim yapan bir başka operatör takımı yoktur! Görüldüğü gibi bu işin içinde kompleks di imajiner di vb. şeyler yoktur. Onlar sizin uydurmanız... Evet bu sistemde (0, 1) noktasının karesi (-1, 0) olup bu da Reel Aksis de -1 noktasına TEKABUL eder. Bu tekabülü şöylşe gösteriniz isterseniz: (-1, 0) <--> -1. Yani x^2 = -1 denklemini (0, 1) ve hatta (0, -1) sayıları çözer. Şimdi siz bu iki sayıya -1 in karekökü diyebilirsiiz. Bu cebirsel sistem, Cisim, öyle güzel, öyle şirin, öyle derin, öyle gizemli ki, örneğin bütün polinomların köklerini bulmak için başka bir yere gitmeye gerek yok! (Fundamental Theorem of Algebra, bu müthiş Teoremin ilk ispatını Frederic Gauss vermiştir).



Bakın Hocam, ülkede her alanda matematiği mühendisler değil de matematikçiker verrniş olsaydı bugün sistemler daha iyi işliyecekti.. Ama bizim memleketimizde aslında ilim bilime gitmeleri gerekenler sosyal, maddi ve de zevce seçilme sınır değer şartları yüzünden mühendisliğe gidip harcanınca daha sonra matematiğe gelip bilip bilmeden savuruyorlar... Yavuz nutku ve Yılmaz hocanın "türkiye nin mühendis matematikçileri" ismi altında yazıları var isteyip okuyunuz beni çok daha iyi anlayacaksınız.. Şimdi siz diyorsunuz ki: "(x,0) gibi sayıları da reeldir dersek:"... Ben böyle bir şey demedim! Dedimse de düzeltirim. Matematik fonsksiyonlar la yapılır, yazılır. Fonksiyonun tarifinde en mühim kelime TEKABUL dür! Reel eksen düzlem in bir alt kümesidir. Dolayısı ile ben pekala şu tekbulü yazabilirim: (x, 0) <--->x. Bu bir eşitlik değildir. Yahu biz daha bugün 1 + 2 + 3 +... belirsiz sayısına -1/12 gibi belirli bir sayıyı tekabul ettirmiş ama bunun içinde nerdeyse bir pehlivan tefrikası yazmış birisiyiz! (x,0) a x i mi tekabul ettirmeyeceğiz?...


Gödel olmasa" demekle "keşke ölüm olmasa" demek bence biraz eşdeğer . ölüm olmasaydı hayat bu kadar anlamlı ve heyecanlı olurmuydu? Hilbert matematiği otomatlaştırmak, robotlaştırmak, yani insan aklını ortadan kaldırmak istemişti. Timur amca ne demişti: "Matematik, insan aklının yarattığı en büyük değerdir.". Gödel olmasaydı (gerçi farketmezdi) insan aklı çöpe mi gidecekti? Yok öyle dememliyiz.. Gödel bize sadece olan bir şeyi gösterdi. Gödel olmasaydı da o şey orda idi. Yani aritmetik is incomplete. In mathematics, there are statements whose truth we can neither prove nor disprove. (yok anasının örekesi). Benim tahminin Collatz -(3n + 1) Problemi ve Riemann Hipotezi bu tip iki ifsde.
Benim cebirimde ix diye bir şey yok x ekseine reel eksen y ye imajiner demişsiniz. Bunlar isim takmalar. İsterseniz tersini diyin banane... Benim ismimi fatih koymuşlar. Aslında rüzgar olsaydı veya başka bir şey öyle veya böyle olması beni değiştirecek miydi? (psikoloji konularına girmiyoruz bu arada).


Fonksiyonun tanımında ilk şart nedir?: soldan sağa sadece bir ok çıkacak. Bir-e-bir olmasını istiyorsanız da sağdaki bir elemana da sadece bir ok gelmiş olacak. Tamam o zaman siz de (0, x) leri, x lerle bir e bir tekabul ettirin ve matemağinizi yapın. Kimse size karışamaz. Elbette y ekseni de reel sayıların bir kopyasını taşır. Ne var bunda? Aslında orijinden de geçmesin bir doğru veya hatta herhangi bir eğri örneğin x² veya x³ de reel sayıların birer kopyasıdır. Rethoric mi diyorlar böyle konuşmalara?
Size bir şey daha diyeyim: düzlemde kartezyen koordinatları yatay ve düşey alıyoruz..



Hayır, ben 45 derece eğimli ve ona dik olarak alacağım diyebilirsini. Zaten bu seçimler rotasyon gurubu altında invariant fizik yapmaya tekabul eder.tanımla, sizi durduran mı var! Yeterki consistent kalın, dooğru matematik yapın. Nasıl doğru matematik yapılır bellirdir... Bu hususta kimse kimseyle çatışamaz.


Orijini de kaydırırım, kimse de bana karışamaz. Fizik de hareket eden koordinatlar da kullanılır. Rölativite bunun üzerinden kanunlar yazar. Matematikde intrinsic kelimesi çok mühimdir. Invariant kelimesi çok mühimdir. Fizik de zaten bu kelimelerle yapılır...